数据结构中“树”的讲解
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数据结构

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14 分钟

参考文献

该文章参考自以下博客人工智能知识分享

概述

树状图是一种数据结构，它是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

  • 每个结点有零个或多个子结点
  • 没有父结点的结点称为根结点
  • 每一个非根结点有且只有一个父结点
  • 除了根结点外，每个子结点可以分为多个不相交的子树

值得注意的是，树结构是一种非线性存储结构，存储的是具有“一对多”关系的数据元素的集合。

树的种类

  • 无序树

树的任意节点的子节点没有顺序关系

  • 有序树

树的任意节点的子节点有顺序关系

  • 二叉树

树的节点至多包含两颗子树

  • 满二叉树

叶子节点都在同一层并且除叶子节点外的所有节点都有两个子节点。

  • 完全二叉树

对于一颗二叉树，假设其深度为d（d>1）。除第d层外的所有节点构成满二叉树，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树；

  • 完满二叉树

除叶子节点之外的每个节点都有两个子节点。

 

  • 霍夫曼树（最优二叉树）

带权路径最短的二叉树

  • 二叉查找树（二叉搜索树、二叉排序树、BST）

若任意节点的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；若任意节点的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值；任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树；没有键值相等的节点。

  • 平衡二叉树

它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树，同时，平衡二叉树必定是二叉搜索树。

  • AVL树

在计算机科学中，AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1，所以它也被称为高度平衡树。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。AVL树本质上还是一棵二叉搜索树，它的特点是：1.本身首先是一棵二叉搜索树。2.带有平衡条件：每个结点的左右子树的高度之差的绝对值（平衡因子）最多为1。也就是说，AVL树，本质上是带了平衡功能的二叉查找树（二叉排序树，二叉搜索树）。使用场景：AVL树适合用于插入删除次数比较少，但查找多的情况。也在Windows进程地址空间管理中得到了使用旋转的目的是为了降低树的高度，使其平衡。

  • 红黑树

红黑树是每个节点都带有颜色属性的二叉查找树，颜色或红色或黑色。在二叉查找树强制一般要求以外，对于任何有效的红黑树我们增加了如下的额外要求:性质1. 节点是红色或黑色。性质2. 根节点是黑色。性质3. 每个红色节点的两个子节点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)性质4. 从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。使用场景：红黑树多用于搜索,插入,删除操作多的情况下红黑树应用比较广泛：（1）广泛用在C++的STL中。map和set都是用红黑树实现的。（2） 著名的linux进程调度Completely Fair Scheduler,用红黑树管理进程控制块。（3）epoll在内核中的实现，用红黑树管理事件块（4）nginx中，用红黑树管理timer等

  • 伸展树

伸展树（Splay Tree），也叫分裂树，是一种二叉排序树，它能在O(log n)内完成插入、查找和删除操作。它由丹尼尔·斯立特Daniel Sleator 和 罗伯特·恩卓·塔扬Robert Endre Tarjan 在1985年发明的。在伸展树上的一般操作都基于伸展操作：假设想要对一个二叉查找树执行一系列的查找操作，为了使整个查找时间更小，被查频率高的那些条目就应当经常处于靠近树根的位置。于是想到设计一个简单方法， 在每次查找之后对树进行重构，把被查找的条目搬移到离树根近一些的地方。伸展树应运而生。伸展树是一种自调整形式的二叉查找树，它会沿着从某个节点到树根之间的路径，通过一系列的旋转把这个节点搬移到树根去。它的优势在于不需要记录用于平衡树的冗余信息。

  • 替罪羊树

替罪羊树是计算机科学中，一种基于部分重建的自平衡二叉搜索树。在替罪羊树上，插入或删除节点的平摊最坏时间复杂度是O(log n)，搜索节点的最坏时间复杂度是O(log n)。在非平衡的二叉搜索树中，每次操作以后检查操作路径，找到最高的满足max(size(son_L),size(son_R))>alpha*size(this)的结点，重建整个子树。这样就得到了替罪羊树，而被重建的子树的原来的根就被称为替罪羊节点。替罪羊树替罪羊树是一棵自平衡二叉搜索树，由ArneAndersson提出。替罪羊树的主要思想就是将不平衡的树压成一个序列,然后暴力重构成一颗平衡的树。

  • B-树

一棵m阶B树(balanced tree of order m)是一棵平衡的m路搜索树。它或者是空树，或者是满足下列性质的树：
1、根结点至少有两个子女；
2、每个非根节点所包含的关键字个数 j 满足：┌m/2┐ – 1 <= j <= m – 1；
3、除根结点以外的所有结点（不包括叶子结点）的度数正好是关键字总数加1，故内部子树个数 k 满足：┌m/2┐ <= k <= m ；
4、所有的叶子结点都位于同一层。

B树(B-Tree)是一种自平衡的树,它是一种多路搜索树（并不是二叉的），能够保证数据有序。同时它还保证了在查找、插入、删除等操作时性能都能保持在O(logn)，为大块数据的读写操作做了优化,同时它也可以用来描述外部存储(支持对保存在磁盘或者网络上的符号表进行外部查找)

  • B+树

B+树是B树的一种变形形式，B+树上的叶子结点存储关键字以及相应记录的地址，叶子结点以上各层作为索引使用。一棵m阶的B+树定义如下:(1)每个结点至多有m个子女；
(2)除根结点外，每个结点至少有[m/2]个子女，根结点至少有两个子女；
(3)有k个子女的结点必有k个关键字。
B+树的查找与B树不同，当索引部分某个结点的关键字与所查的关键字相等时，并不停止查找，应继续沿着这个关键字左边的指针向下，一直查到该关键字所在的叶子结点为止。
更适合文件索引系统
原因： 增删文件（节点）时，效率更高，因为B+树的叶子节点包含所有关键字，并以有序的链表结构存储，这样可很好提高增删效率
使用场景：
文件系统和数据库系统中常用的B/B+ 树，他通过对每个节点存储个数的扩展，使得对连续的数据能够进行较快的定位和访问，能够有效减少查找时间，提高存储的空间局部性从而减少IO操作。他广泛用于文件系统及数据库中，如：
Windows：HPFS 文件系统
Mac：HFS，HFS+ 文件系统
Linux：ResiserFS，XFS，Ext3FS，JFS 文件系统
数据库：ORACLE，MYSQL，SQLSERVER 等中
B树：有序数组+平衡多叉树
B+树：有序数组链表+平衡多叉树

  • B*树

B*树是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）。
B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；
B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；
所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；

  • 字典树

又称单词查找树，Trie树，是一种树形结构，是一种哈希树的变种。典型应用是用于统计，排序和保存大量的字符串（但不仅限于字符串），所以经常被搜索引擎系统用于文本词频统计。它的优点是：利用字符串的公共前缀来减少查询时间，最大限度地减少无谓的字符串比较，查询效率比哈希树高。
它有3个基本性质：
根节点不包含字符，除根节点外每一个节点都只包含一个字符；
从根节点到某一节点，路径上经过的字符连接起来，为该节点对应的字符串；
每个节点的所有子节点包含的字符都不相同。

  • 线索二叉树

在二叉树的结点上加上线索的二叉树称为线索二叉树，对二叉树以某种遍历方式（如先序、中序、后序或层次等）进行遍历，使其变为线索二叉树的过程称为对二叉树进行线索化

总结

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